高中数学教学中的“情境 问题 反思 应用”——《余弦定理》教学案例

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师：这个问题的实质是什么？

   在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。

（一般化）三角形ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。　　　　

3、解决问题

师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

　先从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化）

　可以先在直角三角形中试探一下。

　直角三角形中c2 = a2 + b2 （勾股定理角C为直角）斜三角形ABC中（如图3），过A作BC边上的高

AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）

　师：垂足D一定在边BC上吗？

　不一定，当角C为钝角时，点D在BC的延长线上。

（分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）

   在锐角三角形ABC中，过A作AD垂直BC交

BC于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2，

在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, CD＝ACcosC

即AD＝bsinC, CD＝bcosC

又BD＝BC－CD,即BD＝a－bcosC

∴c2 = （bsinC）2 + （a－bcosC）2

    = b2sin2C + a2 －2abcosC + b2cos2C

        = a2 + b2 －2abcosC

同理a2 = b2 + c2 －2bccosA

    b2 = a2 + c2－2accosB

　  在钝角三角形ABC中，不妨设角C为钝角，

过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，

   在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2，

   在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π－C）, CD＝ACcos（π－C），   即AD＝bsinC, CD＝－bcosC，又BD＝BC＋CD,即BD＝a－bcosC

　∴c2 = （bsinC）2 + （a－bcosC）2 

　　     = b2sin2C + a2 －2abcosC + b2cos2C

 = a2 + b2 －2abcosC

同理a2 = b2 + c2 －2bccosA

    b2 = a2 + c2－2accosB


同理可证    a2 = b2 + c2 －2bccosA

            b2 = a2 +c2－2accosB

师：大家回想一下，在证明过程易出错的地方是什么？

　　

4、反思应用

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定理能够解决哪些问题？

　　知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。

余弦定理　三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。


 

师：请同学们用余弦定理解决本节课开始时的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）

解：由余弦定理，得

　　BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA

                 ＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40cos66°20′

                  ＝3.571

           ∴BC≈1.89（ m ）

答：顶杆BC约长1.89m。

师：大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？

　　不能，已知的三个元素中，至少要有一个边。

师：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？

　　已知三角形的两边与一边的对角或两角与一角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解三角形时，利用余弦定理。

　　巩固练习：课本第131页　练习　1⑵、2⑵、3⑵、4⑵

三、教学反思

　　本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

　　创设数学情境是“情境·问题·反思·应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

　　从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第五章5.10解三角形应用举例的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。

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　“情境·问题·反思·应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

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