数学教案－和圆有关的比例线段

　　3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．

　　教学重点：

　　理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．

　　教学难点：

　　定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点．

　　教学活动设计

　　（一）提出问题

　　1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点．如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图1)

　　当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？

　　2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT²=PA·PB．

　　3、证明：

　　让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想．

　　分析：要证PT²=PA·PB，  可以证明，为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB．(图3)．容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证．

　　 4、引导学生用语言表达上述结论．

　　切割线定理  从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

　　（二）切割线定理的推论

　　1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?

　　观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD．

　　2、组织学生用多种方法证明：

　　方法一：要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB．  (如图4)

　　方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB．容易证明∠B=∠D，又∠P=∠P．  因此△PAD∽△PCB．(如图5)

　　方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现．PT²=PA·PB，同时PT²=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD．PA·PB=PC·PD

　　推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）

　　（三）初步应用

　　例1  已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半径．

　　分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．

　　（解略）教师示范解题．

　　 例2  已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，

　　求证：AE＝BF．

　　分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC＝BD，AD＝BC．  因此它们的积相等，问题得证．

　　学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE²＝AC·CD和BF²＝BD·DC等．

　　巩固练习：P128练习1、2题  

　　（四）小结

　　知识：切割线定理及推论；

　　能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；

　　方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握．

　　（五）作业教材P132中，11、12题．

探究活动

最佳射门位置

　　国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米)．

　　分析与解 如图1所示．AB是足球门，点P是边锋所在的位置．最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所示．即OP是圆的切线，而OB是圆的割线．

　　故 ，又 ，

　　OB=30.34+7.32＝37.66．

　　OP= (米)．

　　注：上述解法适用于更一般情形．如图2所示．△BOP可为任意角．

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