两条直线的位置关系

教学目标

　　（1）熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
　　（2）理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角．
　　（3）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标．
　　（4）掌握点到直线距离公式的推导和应用．
　　（5）进一步掌握求直线方程的方法．
　　（6）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法．
　　（7）通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法．

教学建议

一、教材分析

1．知识结构

2．重点、难点分析

　　重点是两条直线的平行与垂直的判断；两条直线的夹角；点到直线的距离．

　　难点是两条直线垂直条件的推导；一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导．

　　本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要．

（1）平行与垂直

　　①平行

　　在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定理和性质定理）转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况．

　　②垂直

　　教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件．结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：

　　 或 一个为0，另一个不存在．

（2）夹角

　　①应正确区分直线 到 的角、直线 到 的角、直线 和 的夹角这三个概念．

　　 到 的角是带方向的角，它是指 按逆时针方向旋转到与 重合时所转的角，它与 到 的角是不同的，如果设前者是 ，后者是 ，则 ＋ ＝ ． 与 所夹的不大于 的角成为 和 的夹角，夹角不带方向．

　　当 到 的角为锐角 时，则 和 的夹角也是 ；当 到 的角为钝角 时，则 和 的夹角也是 ．

　　②在求直线 到 的角 时，应注意分析图形的几何性质，找出 与 ， 的倾斜角 ， 关系，得出 或 ，然后由 ， 联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出

．

　　再由 与 的夹角与 到 的角之间的关系，而得出夹角计算公式

　　这种把“形”转化为“数”的方法，是解析几何的基本方法，要认真揣摩．

　　③对于以上两个求角公式，在解决实际问题时，要注意根据具体情况选用．

（3）交点

　　①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题，这可以由直线的方程与方程的直线的定义来理解．

　　②在同一平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合，相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况：有惟一解、无解、无数多个解．但在实际判定时，利用直线的斜率和截距更方便．若 ， ，则：

           与 相交 ；

           且 ；

           与 重合 且 ．

（4）点到直线的距离

　　①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具．教科书借助于直角三角形的面积公式，推导出点到直线的距离公式．在推导过程中，把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算，转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算，从而简化了运算过程．

　　②利用点到直线的距离公式可推出两平行线 ， 间的距离公式： ．

　　③点到直线距离公式的推导，有多种方法，应鼓励同学们思考，下面介绍一种较简便的方法．

　　如右图，设 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则有

即

　　 得

　　 ，

即         ，

                    ．

　　当 时，上述公式也成立．

（5）当直线中有一条没有斜率时，讨论平行、垂直、角、距离的问题，不必套用以上结论，这时可结合图形几何性质；直接求解．

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