正弦定理概念、知识点及练习题

　　【概念及知识点】

　　一、简介

　　在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有

　　即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。

　　定理变形

　　二、应用领域

　　在解三角形中，有以下的应用领域：

　　(1)已知三角形的两角与一边，解三角形

　　(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

　　(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

　　直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

　　正弦定理变形形式

　　三、证明

　　显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。

　　△ABC，做其外接圆，圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。

　　若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c = 2R。

　　∵

　　∴

    　若∠C为锐角或钝角，过B作直径BD交⊙O于D，连接DA，显然BD=2R。

　　∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。

　　∴∠DAB是直角。

　　若∠C为锐角，则D与C落于AB的同侧，此时

　　∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。

　　∴∠D=∠C

　　∴

　　若∠C为钝角，则D与C落于AB的异侧，此时∠D=180°-∠C，亦可推出。

　　在△DAB中，应用正弦函数定义，知

　　因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。

　　考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果。可得。故对于任意三角形定理的证。

　　四、定理的意义

　　正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦定理在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

　　一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

　　五、扩展

　　三角形面积公式：

　　1.海伦公式:

　　设，则

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