新高一数学必考知识点之平面向量相关知识

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　　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2

　　(4)向量的数量积的性质：

　　a·a=∣a∣^2≥0

　　a·b=b·a

　　k(ab)=(ka)b=a(kb)

　　a·(b+c)=a·b+a·c

　　a·b=0<=>a⊥b

　　a=kb<=>a//b

　　e1·e2=|e1||e2|cosθ

　　3、向量积

　　(1)向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉。

　　(2)已知两个非零向量a、b，那么a×b叫做a与b的向量积或外积。若a、b不共线，a×b是一个向量，其模是∣a×b∣=|a||b|cos〈a，b〉;a×b的方向为垂直于a和b，且a、b和a×b按次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

　　(3)向量积几何意义： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

　　(4)向量积性质：

　　a×a=0

　　a‖b〈=〉a×b=0

　　a×b=-b×a

　　(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)

　　(a+b)×c=a×c+b×c

　　4、混合积

　　定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

　　混合积具有下列性质：

　　1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成左手系时ε=-1)

　　2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

　　3、(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)

　　第五、向量的特殊规律。

　　1.三角形ABC内一点O，向量OA·向量OB=向量OB·向量OC=向量OC·向量OA，则点O是三角形的垂心。

　　2.若O是三角形ABC的外心,点M满足向量OA+向量OB+向量OC=向量OM，则M是三角形ABC的垂心。

　　3若O和三角形ABC共面，且满足向量OA+向量OB+向量OC=零向量，则O是三角形ABC的重心。

　　三点共线　三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1)

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