函数方程概念、知识点及练习题

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　　【概念及知识点】

　　一、函数方程的概念

　　1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x+1)=x、f(-x)=f(x)、f(-x)= -f(x)、f(x+2)=f(x)等。其中f(x)是未知函数

　　2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x-1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解

　　3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程

　　4.定理(柯西函数方程的解)

　　若f(x)是单调(或连续)函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)

　　证明：由题设不难得

　　f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

　　取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)

　　令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- (1)

　　x=1，则f(n)=nf(1)

　　x=m/n，则f(m)=nf(m/n) ，解得f(m/n)= f(m)/n= mf(1)/n --------- (2)

　　x=-m/n ，且令y=-x>0，则f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0

　　∴f(x)=-f(y)=-yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)

　　由上述(1)，(2)，(3)知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)

　　另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列，则有 ：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)

　　综上所述，对于任意实数x，有f(x)=xf(1)

　　二、函数方程的解法

　　代换法(或换元法)

　　把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发生变化)，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数

　　例1 (1)已知f(2x-1)=x2+x，那么f(x)=______________。

　　略解：设t=2x-1，则x= (t+1)/2，那么f(t)= [(t+1)^2]/4+ (t+1)/2=(t^2+4t+3)/4

　　故f(x)=(x^2+4x+3)/4

　　(2) 已知f(x+1)=x+2 ，那么f(x)=____________。

　　略解：f(x+1)=(x+1)2-1，故f(x)=x2-1 (x≥1)

　　(3) 已知f(x+2)=x2+2，那么f(x)=_______________。

　　略解：f(x+2)=(x+2)2-2，故f(x)=x2-2 (|x|≥2)

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　　例2 设ab≠0,a2≠b2，求af(x)+bf(-t)=cx的解

　　解：分别用x=-t，x=t代入已知方程，得

　　af(-t)+bf(t)=-ct------(1)

　　af(t)+bf(-t)=ct------(2)

　　由(1)，(2)组成方程组解得 f(t)=

　　即： f(x)=

　　待定系数法

　　当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得

　　例3 已知f(x)是一次函数，且f{f[f---f(x)]}=1024x+1023。求f(x)

　　10次

　　解：设f(x)=ax+b (a≠0)，记f{f[f…f(x)]}=fn(x)，则

　　n次

　　f2(x)=f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+b(a+1)

　　f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x+b(a+1)]+b=a3x+b(a2+a+1)

　　依次类推有：f10(x)=a10x+b(a9+a8+…+a+1)=a10x+

　　由题设知：

　　a^10=1024 且 =1023

　　∴a=2，b=1 或 a=-2，b=-3

　　∴f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3

　　迭代法

　　由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法

　　例4 设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy。求f(x)

　　解：令y=1，得f(x+1)=f(x)+x+1

　　再依次令x=1，2，…，n-1，有

　　f(2)=f(1)+2

　　f(3)=f(2)+3

　　……

　　f(n-1)=f(n-2)+(n-1)

　　f(n)=f(n-1)+n

　　依次代入，得

　　f(n)=f(1)+2+3+…+(n-1)+n=

　　∴f(x)= n(n+1)/2

　　(x∈N+)

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　　例5 ，已知f(1)= 且当n>1时有 。求f(n) (n∈N+)

　　解：把已知等式(递推公式)进行整理，得

　　f(n-1)-f(n)=2(n+1)f(n)f(n-1)

　　∴ =2(n+1)

　　把n依次用2，3，…，n代换，得

　　- =2×3

　　- =2×4

　　……

　　=2(n+1)

　　上述(n-1)个等式相加，得

　　=2[3+4+…+(n+1)]=(n-1)(n+4)

　　∴ = +(n-1)(n+4)=n2+3n+1

　　∴f(n)=

　　柯西法

　　在f(x)单调(或连续)的条件下，利用柯西函数方程的解求解

　　例6 设f(x)连续且不恒为0，求函数方程f(x+y)=f(x)f(y)的解

　　解：∵f(x)=f(x+y)=f(x)f(y)≥0

　　若存在x0∈R，使f(x0)=0。则对一切实数x，有

　　f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)f(x0)=0

　　这与f(x)不恒为0矛盾，故f(x)>0

　　对题设f(x+y)=f(x)f(y)两边取自然对数，得

　　㏑f(x+y)=㏑f(x)f(y)

　　∴㏑f(x+y)=㏑f(x)+㏑f(y)

　　令g(x)=㏑f(x)

　　∵f(x)>0且连续 ∴g(x)连续且满足g(x+y)=g(x)+g(y).由定理知：

　　g(x)=g(1)x

　　故 ㏑f(x)=x㏑f(1)

　　∴f(x)=e^x㏑f(1)=f(1)^x

　　令f(1)=a，则f(x)=a^x (a>0)

　　类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：

　　(1) 若f(xy)=f(x)+f(y) (x>0,y>0),则f(x)=㏒ax

　　(2) 若f(xy)=f(x)f(y) (x>0,y>0),则f(x)=ux(u由初值给出)

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