幂函数概念、知识点及练习题

【概念及知识点】

　　一、概念

　　形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

　　当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

　　二、性质

　　所有的幂函数在(-∞，+∞)上都有各自的定义，并且图像都过点(1,1)。

　　(1)当α>0时，幂函数y=xa有下列性质：

　　a、图像都通过点(1,1)(0,0) ;

　　b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大;

　　c、在第一象限内，α>1时，图像开口向上;0<α<1时，图像开口向右;

　　d、函数的图像通过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数。

　　(2)当α<0时，幂函数y=xa有下列性质：

　　a、图像都通过点(1,1);

　　b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像开口向上;

　　c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图像在y轴上方趋向于原点时，图像在y轴右方无限接近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴。

　　(3)当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

　　a、y=x0是直线y=1去掉一点(0,1) 它的图像不是直线。

　　三、特性

　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数(即p、q互质)，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　a小于0时，x不等于0;

　　a的分母为偶数时，x不小于0;

　　a的分母为奇数时，x取R。

　　四、定义域和值域

　　当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

　　1.如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数， 则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;2.如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。

　　当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：

　　1.在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

　　2. 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。

　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，

　　因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。

　　五、特殊性

　　可以看到：

　　(1)所有的图形都通过(1，1)这点.(a≠0) a>0时 图象过点(0，0)和(1，1)

　　(2)单调区间：

　　当a为整数时，a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当a为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增;

　　②当a为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增;

　　③当a为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);

　　④当a为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

　　当a为分数时，a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当a>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增;

　　②当a>0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增;

　　③当a<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减;

　　④当a<0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);

　　(3)当a>1时，

　　幂函数图形下凸(竖抛);当0

　　(4)在(0,1)上，幂函数中a越大，函数图像越靠近x轴;在(1，﹢∞)上幂函数中a越大，函数图像越远离x轴。

　　(5)当a<0时，a越小，图形倾斜程度越大。

　　(6)显然幂函数无界限。

　　(7)a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}。

　　六、图象

　　幂函数的图象：

　　①当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数

　　②当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数

　　③当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1)

　　④当0

　　⑤当a≥1且a为奇数时，函数是奇函数

　　⑥当a≥1且a为偶数时，函数是偶函数

　　幂函数的图像不过第四象限

　　【练习题】

　　1、————

　　2、

　　3、

　　【参考答案】

　　1、2

　　2、[2,3]

　　3、