简单的线性规划

问题1：该厂生产什么？怎么生产？

设计意图：引导学生读题，完成实际问题数学化的过程．承前一课时，使学生进一步熟练如何从实际问题中抽象出不等式组（约束条件）并用平面区域表示．

设甲、乙两种产品每日分别生产x，y件，生产甲产品需满足；生产乙产品需满足；生产时间需满足，从而得出二元一次不等式组：

　　　　　      （1）

问题2：可能的日安排，什么意思？

设计意图：让学生了解日生产方案的数学符号表示，不等式组（1）的整数解的实际意义，并顺势给出“可行解”、“可行域”概念．

教学中，可以结合几何画板，让学生“读出”可行解，即可行域中的18个整点：

（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）；

（1，0），（1，1），（1，2），（1，3）；

（2，0），（2，1），（2，2），（2，3）；

（3，0），（3，1），（3，2）；

（4，0），（4，1），（4，2）．

对于边界附近的点，如（3，3），（4，3，），（4，4）是否可行域中，需引导学生配合不等式来判断，这将有助于学生手绘解决问题时的慎密思考．

问题3：若每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利3万元，如何安排生产利润最大？

设计意图：通过添加最优化问题转入对新知识的探究，使学生体会知识生成的自然和线性规划模型的价值．

　　2．问题的深入

利润函数模型的建立．设生产利润为z（万元），则z＝2x＋3y．

这是一个二元函数，甲、乙两种产品的数量共同影响生产利润，不是学生熟悉的问题．

教学时，可引导学生分别求各种可能安排的利润（列举）：z＝？

观察得到，当x＝4，y＝2时，z最大，z的最大值为14万元．引出最优化问题，顺势给出“最优解”概念．

问题4：如何看待利润函数的解析式z＝2x＋3y?

设计意图：得出利润函数z＝2x＋3y后，学生多会与一元函数求最值的问题进行类比，考虑定义域（这里是可行域）的作用，求最值的代数的或几何的方法．在学生活跃的思维中，寻求数形结合思想方法应用的契机．

由利润函数的解析式z＝2x＋3y，视z为常数，则z＝2x＋3y就是关于x，y的二元一次方程，在平面直角坐标系中，方程z＝2x＋3y表示斜率为，在y轴上的截距为的一组平行直线（直线是其中的一个代表）．

由于z＝2x＋3y中的（x，y），来自于可行域，所以直线z＝2x＋3y与可行域有公共点．

可追问以下问题：

当直线z＝2x＋3y经过可行域中的哪个（些）点时，z最大？

当直线经过可行域中的哪个（些）点时，最大？

当直线经过可行域中的哪个（些）点时，与y轴的交点最高？

故求z的最大值，可转化为求的最大值，而是直线z＝2x＋3y在y轴上的截距，只要看直线系z＝2x＋3y与y轴的交点的最高即可．

从（一元）函数的观点来看，z是以直线z＝2x＋3y与y轴的交点的纵坐标为自变量的（一元）函数．

由于y的系数为正，故z是直线的纵截距的增函数，即当直线的纵截距最大（与y轴的交点最高）时，目标函数有最大值．（熟练之后，就不必化直线方程为斜截式了！）

问题5：怎样求解线性规划问题？

设计意图：通过这个具体例子，让学生梳理问题解决的思路，归纳最优化问题的求解思路：

第1步：依题意，列出不等式组

第2步：画出可行域（实际上也就找到了可行解）．

第3步：依题意，求出目标函数

第4步：作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），平移此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值．

第5步：求（写）出最优解和相应的最大（小）值．

由解得点M的坐标（4，2）．

当x＝4，y＝2时，z最大，z_max＝2×4＋3×2＝14（万元）．

教师可作以下示范解答

解：设……，依题意，得不等式组：
　　　
作平面区域（如图），

设……，依题意，得目标函数z＝2x＋3y．

作直线2x＋3y＝0，平移之，经过点M时，z最大．

由x＝4，x＋2y＝8得点M的坐标（4，2）．

因此，当x＝4，y＝2时，z最大，z_max＝2×4＋3×2＝14（万元）．

　　3．线性规划概念组