直线的斜率概念、知识点及练习题

　　【概念及知识点】

　　一、定义

　　由一条直线与X轴形成的角的正切。

　　k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)

　　二、直线斜率相关

　　当直线L的斜率存在时，斜截式y=kx+b 当k=0时 y=b

　　当直线L的斜率存在时，点斜式y2—y1=k(X2—X1)，

　　当直线L在两坐标轴上存在非零截距时，有截距式X/a+y/b=1

　　对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向的夹角，即tanα

　　斜率计算：ax+by+c=0中，k=-a/b.

　　直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1)

　　两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1：k1*k2=-1.

　　三、直线的斜率:

　　一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

　　⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

　　⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

　　由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

　　例如, α=45°时, k = tan45°= 1;

　　α=135°时, k = tan135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1.

　　学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

　　四、直线的斜率公式:

　　给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P­1P2的斜率?可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,

　　共同完成斜率公式的推导.(略)

　　斜率公式: m=y2-y1/x2-x1

　　对于上面的斜率公式要注意下面四点：

　　(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直;

　　(2) k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;

　　(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

　　(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.

　　(5) 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.

　　五、斜率的重要性

　　我们可以看到斜率，它是中学生学习的一个非常重要的概念。为什么说它重要，下面我们可以从以下几个方面来看：

　　第一个，从课标的这个角度，我们可以知道在义务教育阶段，我们学习了一次函数，它的几何意义表示为一条直线，一次项的系数就是直线的斜率，只不过当直线与X轴垂直的时候无法表示。虽然没有明确给出斜率这个名词，但实际上思想已经渗透到其中。在高中阶段对必修一以及还有必修二当中都讨论了有关直线问题，选修一还有选修二也都提到了与直线相关的一些问题。上述列举的内容，实际上都涉及到了斜率的概念，因此可以说斜率这个概念是学生逐渐积淀下来的一个重要的数学概念之一。

　　第二个，从数学的视角，我们可以从以下四个角度来理解如何刻划一条直线相对于直角坐标系中X轴的倾斜程度。首先就是从实际意义看，斜率就是我们所说的坡度，是高度的平均变化率，用坡度来刻划道路的倾斜程度，也就是用坡面的切直高度和水平长度的比，相当于在水平方向移动一千米，在切直方向上升或下降的数值，这个比值实际上就表示了坡度的大小。这样的例子实际上很多，比如楼梯及屋顶的坡度等等。其次，从倾斜角的正切值来看;还有就是从向量看，是直线向上方向的向量 与X轴方向上的单位向量的夹角;最后是从导数这个视角来再次认识斜率的概念，这里实际上就是直线的瞬时变化率。认识斜率概念不仅仅是对今后的学习起着很重要的作用，而且对今后学习的一些数学的重要的解题的方法，也是非常有帮助的。

　　第三个，从教材这个视角看。(1)从大纲来看，教材在处理直线的斜率这一部分知识的时候，首先讲直线的倾斜角，然后再讲直线的斜率，之后再来引入经过直线上的两点的斜率公式的推导;从新课程标准来看，可以看到人教版A版的教材是先讲直线的倾斜角，然后再讲直线的斜率，只不过在处理上，是以问题的提出的形式来说。首先是过点P可以做无数条直线，那么它都经过点P，于是组成了一个直线束，这些直线的区别在哪儿呢，容易看出它们的倾斜程度都不同，那么如何刻画这些直线的倾斜程度呢，以直线l与x轴相交时，以x轴作为一个基准，x轴的走向与直线l向上的方向之间所成的角α定义为直线l的倾斜角。之后讨论了倾斜角的取值范围，然后提出日常生活中与倾斜程度有关的量，让学生们来自己举例子，比如身高与前进量的比;再比如说进二升三与进二升二去比较，那前者就会更陡一些。如果用倾斜角这个概念，那么我们会看到坡度实际上就是倾斜角α的正切值，它就刻画了直线的一个倾斜程度，这里要特别强调的是倾斜角不是90度的直线都有斜率。由于倾斜角不同，直线的斜率不同，因此可以用倾斜角表示直线的倾斜程度，然后引导同学们去探索如何用过直线上的两个点来推导有关直线的斜率公式，同样在这里牵扯到有关的倾斜角是0度到90度、以及倾斜角是90度、还有90度到180度不同取值范围的斜率的表达形式。再来看人教版的数学时，在这里再次提到了直线的斜率的概念，但只不过是在总复习题B组当中涉及到有关斜率的提法，此时用向量的方式来再次提到斜率公式的引进。

　　第四个，物理学习平均速度，瞬时速度，加速度等时需要运用其求解，推算

　　第五个，斜率可以帮助我们更好的理解，推导，理解公式以及其他各个方面

　　六、注意事项

　　(1)顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”。过去我们在学习解直角三角形时，教科书上就说过：斜坡坡面的竖直高度h与水平宽度l的比值i叫做坡度;如果把坡面与水平面的夹角α叫做坡度，那么;坡度越大<=>α角越大<=>坡面越陡，所以i=tanα可以反映坡面倾斜的程度。现在我们学习的斜率k，等于所对应的直线(有无数条，它们彼此平行)的倾斜角(只有一个)α的正切，可以反映这样的直线对于x轴倾斜的程度。实际上，“斜率”的概念与工程问题中的“坡度”是一致的。

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