平面向量的数量积概念、知识点及练习题

　　【概念及知识点】

　　一、定义

　　数量积即点积。

　　在数学中，数量积(dot product; scalar product，也称为点积、点乘)是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

　　两个矢量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：

　　a·b=a1b1+a2b2+……+anbn

　　使用矩阵乘法并把(纵列)矢量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：

　　a·b=a^T*b，这里的a^T指示矩阵a的转置。

　　二、简介

　　点积的值由以下三个值确定：

　　u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度;如果为零，那么u,v垂直;如果为正，那么u,v形成的角为锐角。

　　点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机

　　向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。运算律

　　1.交换律：α·β=β·α　2.分配律：(α+β)·γ=α·γ+β·γ　3.若λ为数：(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)　若λ、μ为数：：(λα)·(μβ)=λμ(α·β)　4.α·α=|α|^2 ，此外：α·α=0〈=〉α=0。　向量的数量积不满足消去律，即一般情况下：α·β=α·γ，α≠0 ≠〉β=γ。　向量的数量积不满足结合律，即一般(α·β)·γ ≠〉α·(β·γ)　相互垂直的两向量数量积为0

　　三、坐标表示

　　已知两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则有a·b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

　　四、应用

　　平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等　如证明勾股定理：　Rt△ABC中，∠C=90°，则|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2：　因AB = CB-CA，

　　所以AB·AB =(CB-CA)·(CB-CA)= CB·CB-2CA·CB+CA·CA;　由∠C=90°，有CA⊥BD，于是CA·CB=0　所以AB·AB=AC·AC+CB·CB　菱形对角线相互垂直：　菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD　设|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a　因AC=AB+BC;BD=BC+CD

　　所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α )　又因为cosα=-cosπ-α

　　所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α )=0　AC⊥BD

　　在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近;如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染(Animation-Rendering)。

　　【练习题】

　　1、已知向量a=(1，-1)，b=(2，x)，若a·b=1，则x等于 (　　)

　　A.-1　　　　　 B.　　　　　C. 　　　　　D.1

　　2、设x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，且a⊥c，b∥c，则|a+b|等于 (　　)

　　A. 　　　　　B. 　　　　　C.2 　　　　　D.10

　　【参考答案】

　　1、D

　　2、B