平方根概念、知识点及练习题

　　【性质与概念】

平方根的基础信息

　　一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

　　如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。

　　规定：0的平方根是0。

　　负数在实数范围内不能开平方，只有在复数范围内，才可以开平方根。例如：-1的平方根为±1i，-9的平方根为±3i。

　　平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。

　　任何复数都有平方根。

　　算术平方根为：√a=a(a为非负数)

　　被开方数是乘方运算里的幂。

　　求平方根可通过逆运算平方来求。

　　开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。

　　若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即±√a=±x(a为非负数)

　　性质

　　与平方根的关系

　　正数的平方根有两个，它们为相反数，其中正数的平方根，就是这个数的算术平方根。

　　产生

　　根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个 “根号二”的发现 一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。因为按当时的权威解释(也就是毕达哥拉斯学派的学说)，万物皆数(也就是说世界上所有的事物都可以用数来表示)。

　　对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示。

　　举例

　　9的平方根为±3 ;9的算术平方根为3，正数的平方根都是前面加±，算术平方根全部都是非负数(0也在内，)

　　辨析

　　算术平方根和平方根是大家学习实数接触最多的概念，两者密不可分。可对于初学者来说是对“孪生杀手”，很容易在解题过程中产生错误。算术平方根和平方根到底有哪些区别与联系呢?

　　区别

　　1、定义不同：

　　⑴绝大部分地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根(arithmetic square root)。

　　⑵一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根(square root)。这就是说， 如果x²=a，那么x叫做a的平方根。

　　2、表示方法不同：

　　⑴a的算术平方根记为读作“根号a”，a叫做被开方数(radicand)。

　　⑵a的平方根记为，读作“正负根号a”，其中a叫做被开方数。

　　3、个数不同：从形式上看，二者的符号主体相似，但是一个数的平方根要在其算术平方根的前面写上“±”。这也正好说明了一个正数和零的算术平方根有且只有一个，而一个正数却有两个互为相反数的平方根。零只有一个平方根。

　　联系

　　1、前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。

　　2、存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。

　　3、0的算术平方根和平方根相同，都是0。

　　【练习题】

　　1、正数a的平方根是( )

　　2、若m的平方根是±3，则m =______；若5x+4的平方根是±1，则x =______。

　　3、在−之间的整数是_____。

　　4、若的算术平方根是3，则a =__。

　　5、一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是_____。

　　【参考答案】

　　1.B

　　2.9　　由5x+4 = 1得x = −

　　3.−2，−1，0，1，2，3

　　4.81

　　5.