函数概念、知识点及练习题

　　【性质与概念】

　　性质

　　有界性

　　设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)≥K2对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f(x)|≤M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。

　　函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。

　　单调性

　　设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的;如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

　　奇偶性

　　设f(x)为一个实变量实值函数，则f(x)为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立：

　　f( -x) =- f(x) 几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。

　　奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。

　　设f(x)为一实变量实值函数，则f(x)为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立：

　　f(x) =f( -x) 几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。

　　偶函数的例子有|x|、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。

　　偶函数不可能是个双射映射。

　　周期性

　　设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一x∈D有(x士T)∈D，且f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。

　　并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷(Dirichlet)函数。

　　连续性

　　在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。

　　设f是一个从实数集的子集射到 的函数：。f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：

　　f在点c上有定义。c是中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。

　　不用极限的概念，也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性。

　　仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：

　　对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的，只要x满足c - δ< x < c + δ，就有成立。

　　凹凸性

　　设函数f(x)在I上连续。如果对于I上的两点x1≠x2，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，(f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2)那么称f(x)是区间I上的(严格)凸函数;如果恒有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，(f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2)那么称f(x)是区间上的(严格)凹函数。

　　实函数或虚函数

　　实函数(Real function)，指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。

　　虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动地选择适当的具体实现运行。虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。

　　增减性

　　依y=f(x),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”

　　判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域;(2)将复合函数分解为若干

　　个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);(3)判断每个常见函数的单调性;(4)将中间

　　变量的取值范围转化为自变量的取值范围;(5)求出复合函数的单调性。

　　例如：讨论函数y=0.8^(x²-4x+3)的单调性。

　　解：函数定义域为R。

　　令u=x²-4x+3，y=0.8^u。

　　指数函数y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函数，

　　u=x²-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，

　　由同增异减

　　∴函数y=0.8^(x²-4x+3)在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

　　利用复合函数求参数取值范围

　　求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这

　　个参数的不等式组，必须

　　将已知的所有条件加以转化。

　　周期性

　　设y=f(x),的最小正周期为T1，μ=φ(x)的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+)

　　周期函数性质：

　　(1)若T(T≠0)是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期。

　　(2)若T(T≠0)是f(x)的周期，则nT(n为任意非零整数)也是f(x)的周期。

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