二次函数概念、知识点及练习题

　　【性质与概念】

　　二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，交点式为y=a(x-x1)(x-x2)仅限于与x轴有交点和的抛物线)，与x轴的交点坐标是A(x1,0)和B(x2,0)。

　　注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。

　　性质：

　　1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)。

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。当-b/2a=0时，P在y轴上;当△=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c

　　6.抛物线与x轴交点个数：△=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。△=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。当△=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

　　当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=(4ac-b^2)/4a;在(-∞,-b/2a] 上是减函数，在[-b/2a,+∞) 上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是[(4ac-b^2)/4a,+∞)。

　　当a<0时，函数在x=-b/2a处取得最大值f(-b/2a)=(4ac-b^2)/4a;在(-∞,-b/2a] 上是增函数，在[-b/2a,+∞) 上是减函数;抛物线的开口向下;函数的值域是(-∞,(4ac-b^2)/4a]。

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)。

　　7.定义域：R

　　值域：当a>0时，值域是[(4ac-b^2)/4a,+∞); 当a<0时，值域是(-∞,(4ac-b^2)/4a]。

　　奇偶性：当b=0时，此函数是偶函数;当b不等于0时，此函数是非奇非偶函数。

　　周期性：无

　　解析式：

　　①一般式：y=ax^2+bx+c

　　⑴a≠0

　　⑵若a>0，则抛物线开口朝上;若a<0，则抛物线开口朝下;

　　⑶顶点：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);

　　△=b^2-4ac

　　若Δ>0，则图象与x轴交于两点：

　　((-b-√△)/2a,0)和((-b+√△)/2a,0);

　　若Δ=0，则图象与x轴切于一点：(-b/2a,0);

　　若Δ<0，图象与x轴无公共点;

　　②顶点式：y=a(x-h)^2+t

　　此时，对应顶点为(h,t),其中t=(4ac-b^2)，h==-b/2a;

　　图象与x轴交于(x1,0)和(x2,0)两点。

　　表达式：

　　1)顶点式

　　y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=x^2的图像相同，当x=m时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

　　例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

　　解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)^2+2。

　　注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

　　具体可分为下面几种情况：

　　当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到;

　　当h<0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到;

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象;

　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;

　　当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;

　　当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。

　　2)交点式

　　y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b^2-4ac≥0]

　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上;a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

　　f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　3)三点式(已知三点求一般式)

　　方法：

　　已知二次函数上三个点，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。把三个点分别代入函数解析式，有：

　　f(yi)=axi^2+bxi+c(i=1,2,3)

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