圆概念、知识点及练习题

　　【性质与概念】

　　概念：

　　1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。

　　2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r

　　3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。

　　4 连接圆上任意两点的线段叫做弦.最长的弦是直径。

　　5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

　　6 由圆心角的两条半径和圆心角所对应的一段弧围成的图形叫做扇形。

　　7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

　　8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。

　　9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

　　10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用字母π表示，π=3.14159265……计算时通常取3.14。我们可以说圆的周长是直径的π倍，或大约3.14倍，不能直接说圆的周长是直径的3.14倍!

　　11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。

　　12 圆是一个正n边形(n为无限大的正整数)，边长无限接近0但不等于0。

　　13 把圆分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形。长方形的长相当于圆的半径。

　　字母表示：

　　圆—⊙ ;半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母); 弧—⌒ ;直径—d ;

　　扇形弧长—L ; 周长—C ; 面积—S。

　　计算公式：

　　1.圆的周长C=2πr=或C=πd

　　2.圆的面积S=πr²

　　3.扇形弧长L=圆心角(弧度制) * r = nπr/180(n为圆心角)

　　4.扇形面积S=nπ r²/360=Lr/2(L为扇形的弧长)

　　5.圆的直径 d=2r

　　6.圆锥侧面积 S=πrl(l为母线长)

　　7.圆锥底面半径 r=n/360L(L为母线长)(r为底面半径)

　　位置关系：

　　1)点和圆位置关系

　　①P在圆O外，则 PO>r。

　　②P在圆O上，则 PO=r。

　　③P在圆O内，则 PO

　　反过来也是如此。

　　2)直线和圆位置关系

　　①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。

　　②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d

　　③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。(d为圆心到直线的距离)

　　平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

　　1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程

　　如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

　　如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

　　如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

　　2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为(x-a)²+(y-b)²=r²令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1

　　当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;

　　当x1

　　3)圆和圆位置关系

　　①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。

　　②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。

　　③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

　　设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r;外切P=R+r;内含P

　　内切P=R-r;相交R-r

　　性质：

　　⑴圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

　　⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理

　　① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

　　②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)。

　　直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

　　圆心角计算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

　　即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

　　③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

　　⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

　　①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;

　　②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

　　③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)。

　　④两相切圆的连心线过切点。(连心线：两个圆心相连的直线)

　　⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

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