一元二次方程概念、知识点及练习题

　　【性质与概念】

　　定义：

　　一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

　　性质：

　　一元二次方程必须同时满足三个条件：

　　①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数;

　　②只含有一个未知数;

　　③未知数的最高次数是2。

　　方程形式：

　　一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax^2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c是常数)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。其中ax^2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，此方程也就不是一元二次方程了。要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。

　　变形式

　　ax^2+bx=0(a、b是实数，a≠0)

　　ax^2+c=0(a、c是实数，a≠0)

　　ax^2=0(a是实数，a≠0)

　　配方式

　　a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a

　　两根式

　　a(x-x1)(x-x2)=0

　　解(根)的意义

　　(1)一元二次方程的解(根)的意义：

　　能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根)。

　　(2)一元二次方程一定且最多有两个解，但不一定有两个实数解。

　　根的个数和判别式

　　利用一元二次方程根的判别式(△=b^2-4ac)可以判断方程的根的情况。

　　一元二次方程ax^2+bx+c=0的根与判别式△有如下关系：

　　①当△>0时，方程有两个不相等的实数根;

　　②当△=0时，方程有两个相等的实数根;

　　③当△<0时，方程无实数根，有2个不相等的复数根。

　　上述结论反过来也成立。

　　根与系数的关系

　　一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：

　　X1+x2=-b/a,x1x2=c/a(也称韦达定理)。

　　由韦达定理可得，当方程的两根为x1=p，x2=q时，方程为：a[x^2-(p+q)x+pq]=0(其中)。

　　【练习题】

　　选择题：

　　1. 一元二次方程的一般形式是( )

　　A x^2+bx+c=0 B a x^2+c=0 (a≠0 )

　　C a x^2+bx+c=0 D a x^2+bx+c=0 (a≠0)

　　2. 方程3 x^2+27=0的解是( )

　　A x=±3 B x= -3 C 无实数根 D 以上都不对

　　填空题：

　　3. 关于x的方程mx^2-3x= x^2-mx+2是一元二次方程,则m___________.

　　4. 程x^2=1的解为______________.

　　【参考答案】

　　选择题：

　　1.D

　　2.C

　　填空题：

　　3. ≠1

　　4. 1或-1