中考数学往年考点分类解析汇编

　　（3）证明的方法和（2）一样。

　　4.（河源9分）如图，已知抛物线 与x 轴交于两点A、B，其顶点为C.

　　（1） 对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上？请说明理由；

　　（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；

　　（3）已知点D在 轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、

　　C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

　　【答案】解：（1）对于任意实数m，点M（m，-2）都不在该抛物线上。理由如下：

　　∵    ，

　　∴当 。

　　而-2<-1，∴对于任意实数m，点M（m，-2）都不在该抛物线上。

　　（2）令  ，解得， 。

　　∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）。

　　由（1）知点C的坐标为（2，－1）。

　　过C作CE⊥X轴于E，则点E的坐标为（2，0）。

　　∴AE=2－1=1，EB=3－2=1，CE=1。

　　∴AC=BC= 。

　　∴ AC2＋BC2= 。

　　而AB2=22=4，∴ AC2+BC2=AB2。

　　∴△ABC是等腰直角三角形。

　　（3）存在。

　　首先BD为平行四边形边的情况是不可能的，这是因为C是抛物线的顶点，它不可能与抛物线上的其它点构成与BD（ 轴）平行的线段。

　　因此只能是BC为边构成平行四边形。

　　∵ 点D，B在 轴上， 点C到 轴的距离为1，

　　∴点P的纵坐标为1。则

　　由 解得， 。

　　∵ 由（2）知∠CBO=450，∴∠PDB=450。

　　∴P，D两点横纵标之差等于P点的纵坐标。

　　当 时，D点横纵标为 ；

　　当 时，D点横纵标为 。

　　因此B、C、D1（ ，0）、P1（ ，1）和B、C、D2（ ，0）、P2（ ，1）为顶点的四边形是平行四边形。即所求点P的坐标为（ ，1）和（ ，1）。

　　【考点】二次函数的最小值，点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，勾股定理和逆定理，等腰三角形的定义，平行四边形的判定。

　　【分析】（1）求出   的最小值即能判定。

　　（2）用函数上各点的坐标，然后求出各线段长，用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可证明。

　　（3）利用BC边的确定性进行分析研究。

　　5.（茂名8分）如图，在平面直角坐标系 o 中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与 轴相交于点M.

　　（1）求抛物线的解析式和对称轴；

　　（2）设点P为抛物线（ ＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

　　（3）连接AC.探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由。

　　【答案】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 = （ －1）（ －5），

　　把点A（0，4）代入上式得： = ，

　　∴ 。

　　∴抛物线的对称轴是： =3。

　　（2）点P的坐标为（6，4）。

　　（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大。

　　设N点的横坐标为t，此时点N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），

　　过点N作NG∥ 轴交AC于Q，

　　由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：

　　=－  ＋4。

　　把 =t代入得：y=－  ＋4，则Q（t，－ t＋4），

　　此时，NQ=－  ＋4－（ t2－ t＋4）=－ t2＋ t，

　　∴S△ACN= NQ?OC= （－ t2＋ t）×5=－2t2＋10t=－2（t－ ）2＋ ，

　　∴当t= 时，△CAN面积的最大值为 ，

　　由t= ，得：y= t2－ t+4=－3，∴点N的坐标为（ ，－3）。

　　【考点】二次函数综合题，待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，二次函数的最大值。

　　【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为 = （ －1）（ －5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴。

　　（2）由已知，可求得P（6，4）：

　　由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，

　　又∵点P的坐标中 ＞5，∴MP＞2，AP＞2；

　　∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，

　　∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，

　　在Rt△AOM中，AM= 。

　　∵抛物线对称轴过点M，

　　∴在抛物线 ＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，

　　即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；

　　故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）。

　　（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大。设N点的横坐标为t，此时点N（t， t2－ t＋4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案。

　　6.（清远8分）如图，抛物线 ＝（ ＋1）2＋k 与 轴交于A、B两点，与

　　轴交于点C （0，－3）。

　　（1）求抛物线的对称轴及k的值；

　　（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求

　　此时点P的坐标；

　　（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限。

　　① 当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；

　　② 当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M

　　的坐标。

　　【答案】解：（1）抛物线的对称轴为直线 ＝－1。

　　把C （0，－3）代入 ＝（ ＋1）2＋k得

　　－3＝1＋k ， ∴k＝－4。

　　（2）∵PA＋PC的值最小，∴连接AC，交对称轴于点P。

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