中考数学往年考点分类解析汇编

　　11.（珠海9分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝1，BC＝2.将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F.过点P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，连结PA、PE、AM，EF与PA相交于O.

　　（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；

　　（2）记∠EPM＝ ，△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2.

　　① 求证： ＝18 PA2.

　　② 设AN＝x，y＝ ，试求出以 为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围。

　　【答案】解：（1）四边形AMPE为菱形

　　（2）① 证明：∵四边形AMPE为菱形，∠ EPM＝ ，

　　∴∠MAP＝12   ， S1＝12OA?OM。

　　∵在Rt△OM中， ＝OMOA，∴OM＝OA? 。

　　∴ ＝12OA?OMOMOA＝12OA?OM??OAOM＝12OA2＝12?（12PA）2＝18PA2。

　　②过D作DH垂直于BC于H，交NP于点K，

　　则DK⊥PN，BH＝AB＝AD＝DH＝1，DK＝AN＝ 。

　　∵CH＝BC－BH＝2－1＝1，∴CH＝DH。

　　∴∠NPD＝∠BCD＝45°。

　　∴PK＝DK＝ 。∴PN＝1＋ 。

　　在Rt△ANP中，AP2＝AN 2＋PN 2＝ 2＋（1＋ ）2＝2 2＋2 ＋1。

　　过E作PM的垂线EG（垂足为G），令△EGM的面积为S。

　　∵△EGM∽△AOM，∴SS1＝（EGAO）2＝ 。则S＝  S1。

　　∵四边形ANGE的面积等于菱形AMPE的面积，∴2S1＝S2＋S。

　　∴S1－S2＝S－S1＝  S1－S1＝（ －1）S1.

　　∴ ＝ ＝（ －1）× ＝（ －1）×18 PA2

　　＝18 （4 2－AP2）=18 [4 2－（2 2＋2 ＋1）]

　　∴ ＝14 2－14 －18=14（ －12）2－ 。

　　。

　　。

　　∴ 函数 的解析式为 ＝14 2－14 －18。 的取值范围为 。

　　【考点】折叠对称，线段垂直平分线的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，三角函数，列二次函数关系式，相似三角形的判定和性质，二次函数值。

　　【分析】（1）∵根据折叠对称的性质，E，F是AP垂直平分线上的点，

　　∴AE=EP，AM=MP。∴∠EAP=∠EPA。

　　又∵PN∥BC∥AD，∴∠EAP= ∠APM。

　　∴ ∠EPA = ∠APM。∴ EP= MP，即 AE=EP=AM=MP。

　　∴ 四边形AMPE为菱形。

　　（2）① 只要把等式左边用有关以线段表示，再经过等量代换即可证得。

　　②把 用 （＝AN）的代数式表示，然后由 的取值范围确定函数值 的取值范围。

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